代写MAT A22 Winter 2024 Homework # 7代做数据结构语言程序

Homework # 7 MAT A22 Winter 2024 Department of Computer and Mathematical Sciences Homework Guidelines This homework was released on  Fri. Mar.  1st 14:00 (EST). It is due on Fri. Mar. 8th 17:00 (EST). We encourage you to talk to your TAs during tutorial, attend office hours, and ask professors for help with this assignment.  You may use the textbook without citing it as a reference, however all other books and internet sources must be cited. Please submit your original work via Crowdmark. The version of this homework on Crowdmark is the only official version of the assignment.  This PDF is provided for your reference. Please check the version on Crowdmark before uploading your solutions. Readings ❼ ➜2.3 Kernel and Image Problems Recall, from the Week 4 Tutorial Activity:  if U, W  ⊆ V  are subspaces such that every vector in v ∈ U + W can be written uniquely w = u + w with u ∈ U and w ∈ W then we say that the sum U + W is direct and write U + W = U ⊕ W. Let T : V → V. Suppose we have an invariant subspace W, then we can restrict ourselves to simply looking at the subspace W and define the restriction operator TW   of T onto W.  The restriction operator TW  : W → W is a linear transformation such that TW (v) = T(v) for all v ∈ W. Let T : V → V.  Then T2  is defined as T2 (v) = T(T(v)).  Later we will prove that the composition linear transformations forms a linear transformation. Q1.  Suppose that V is finite dimensional and let T : V → V be a linear map.  In the previous assignment, we proved that the first three of these five statements are equivalent.  Prove that all 5 statements are equivalent. (a)  image(T2 ) = image(T) (b) ker(T) = ker(T2 ). (c)  image(T) ∩ ker(T) = {0}. (d)  V = image(T) ⊕ ker(T). (e) ker (Timage(T), = {0}. Q2.  Suppose that W1  and W2  are subspaces of V with dim(W1 ) = n, dim(W2 ) = k, and n ≤ k.  Prove the following: (a)  dim(W1 ∩ W2 ) ≤ n (b)  dim(W1 + W2 ) ≤ n + k Prove examples of W1  and W2 ⊆ R3  such that n < k and: (a)  dim(W1 ∩ W2 ) = n (b)  dim(W1 + W2 ) = n + k A function is bijective if it is both injective and surjective. Q3.  Given a set of vectors S = {v1 , . . . , vn } consider the coordinate linear map T : Rn → V given by T(x1 ,..., xn ) = x1 v1 + x2 v2 + ··· + xnvn. (a) What is the image of T? (b) What is the rank of T? (c)  Prove that T is bijective if and only if V is a basis for V. Q4. We will later show that if V is a finite dimensional vector space, then T : V → V is injective if and only if it is subjective if and only if it is bijection.  This is not true for infinite dimensional vector spaces. Consider the following two operation. RS(x1 , x2 , x2 , ...) = (0, x1 , x2 , ...)   and    LS(x1 , x2 , x3 , ...) = (x2 , x3 , ...) (a)  The function RS is called the right-shift function. Show that it is injective but not surjective. (b)  The function LS is called the left-shift function. Show that it is surjective but not injective. Q5.  Suppose that V and W are finite dimensional vector space. Prove the following: (a)  There exists an injective linear transformation T : V → W if and only if dim(W) ≥ dim(V). (b)  There exists a surjective linear transformation T : V → W if and only if dim(W) ≤ dim(V). (Hint: We proved one of the directions in class together.) Q6.  Suppose that dim(V) = k.  Prove the following: (a)  Any k linearly independent vectors form a basis of V. (b)  Any k vectors that span V form a basis of V. This question shows that, in a finite dimensional vector space, a set of vectors is a basis if it is the “right size” (its size is dim(V)) and either: spans V or is linearly independent. The following question is a challenge question that will not be graded. Q7.  Suppose that T : V → V is a linear transformation and V is finite dimensional. (a)  Prove that Rank(T) > Rank(T2 ). (b)  Prove that ifRank(Tn ) = Rank(Tn+1), then Rank(Tn ) = Rank(Tn+k) for all finite k > 0. (c)  Suppose that T is a nilpotent operator. What can we say about nullity(Tn+1) ifRank(Tn ) > 0? (d)  Suppose that T is not nilpotent.  Show that there exists some operator S = Tk  such that V = image(S) ⊕ ker(S).  (Hint: It is easier to prove an equivalent statement from question 1.)