代写MTH6158: Ring Theory Main Examination period 2023调试R语言

Main Examination period 2023 – May/June – Semester B

MTH6158: Ring Theory

Question 1  [30 marks].

(a)  Give an example of a non-commutative ring without an identity.

(b) id(D)e(o)n(e)ti(s)t(t)y(h)? Expla(e equati)in(on) (1 + a)(1 − a) = 1 − a2  hold for any element a of a ring with

(c)  Give an example of a subring of Z/14Z having 4 elements, or explain why it does not exist.

(d)  Prove, using the axioms of a ring or the basic properties proved in the lectures, that any two elements a,b of a ring satisfy the equation (−a)b = − (ab).

(e)  Give an example of a commutative ring without identity having a subring with identity, or explain why such an example cannot exist.

(f) Explain what is wrong in the following  “proof” that every finite commutative ring with identity is a field.

“Proof”: Suppose R is a finite commutative ring with identity. Let a be a

non-zero element of R. We want to show that there exists an inverse of a in R,   that is, an element b such that ab = ba = 1.  Consider the set S = {a,a2 , a3 , . . . }.

Since R is finite, this set S must be finite. This means that there exist positive

integers m > n such that am  = an.  We then have am −n  = 1, which means that the element am −n − 1  is a multiplicative inverse of a.  Thus every non-zero element of R has an inverse, and therefore R is a field.

Question 2  [20 marks]. Consider the ring R = Z/15Z and its ideal

I = {[0]15 , [3]15 , [6]15 , [9]15 , [12]15 }.  [You are not required to prove that I is an ideal of R.]

(a) Is the ideal I a ring with identity? Explain.

(b) Write down explicitly the partition of R into cosets of I.

(c)  Give an explicit isomorphism between the rings Z/3Z and R/I.  [You do not need to prove that it is an isomorphism.]

(d) Does the equation x3 + x5 + x7  = 1 have a solution in the ring R/I? Explain.

Question 3  [30 marks].

(a)  Give an example of a domain R and an element a ∈ R that is neither a unit nor a zero-divisor.

(b) For which integers m ≥ 2 does the ring Z/mZ satisfy the cancellative law for multiplication? Explain.

(c)  Consider the subring S = {a + b√3 : a,b ∈ Z}  of the ring R of real numbers.

(i) Explain why S is an integral domain.

(ii)  Show that the element 2 + √3 is a unit of S.

(iii)  Find a factorisation of the element 6 ∈ S as a product of two elements of S that are not in Z.

(iv)  Given that the element 6 ∈ S can also be factored as 6 = 2 · 3, can we conclude that S is not a unique factorisation domain? Explain.

(d)  Suppose R is a domain and a ∈ R is a non-zero element satisfying a3  = a.  Show that a is either a unit or a zero-divisor.

Question 4  [20 marks]. Consider the field of 2 elements K = Z/2Z and the

(a) Explain why f is an irreducible element of K[x].

(b) Let F be the quotient ring F = K[x]/⟨f⟩, which contains the field K.

(i) Explain why F is a field. [You may use any result proved in the lectures.]

(ii)  How many elements does the field F have?

(iii) Let α be an element of F such that f(α) = 0.  Find an expression for the inverse α− 1  of the form α− 1  = a · α2  + b · α + c with a,b,c ∈ K.