代做Stats 510 Homework 2代做留学生SQL语言程序

Stats 510

Homework 2

Issued September 19, 2024, due by 11:59pm September 26, 2024

1.  Do problems 1.47, 1.53, 2.2, 2.4., 2.8, 2.13.

2.  Let X, Y, Z be real-valued continuous random variables with the pdf, respectively, fX(x) = √ 1 2π e −x 2/2 , fY (y) = √ 1 8π e −y 2/8 , and fZ(z) = √ 1 8π e −(z−1)2/8 .

(i)  Show directly that the random variables X , Y/2,  (Z − 1)/2 and  (1 − Z)/2 all have identical distributions.  (Hint: Examine the corresponding cdf’s.).

(ii)  Show that P(X > 0) = 1/2 and in fact, P(X > 0) = P(Y ≥ 0) = P(Z ≤ 1).

(iii)  Let U be a chi squared random variable with 1 degree of freedom.  Show that P(U ≤ 1) < P(X ≤ 1).

3.  This question asks you to prove a theorem in the lecture notes (Theorem 2 in ”Probability integral transform” of Section 2.1).  Let X be a real-valued random variable with cdf FX (x).  Recall that the

inverse function for the (right-continuous) FX  can be defined as follows, for 0 < y < 1,

FX(−)1 (y) := min{x : FX (x) ≥ y}.

Let U be uniform. random variable in  (0, 1), and define Z  = FX(−)1 (U).   Show that Z has the same

distribution as that of X in the following two scenarios:

(i) X is a discrete random variable taking values in a finite set X = {a1,..., ak } ⊂ R, for some k ∈ N. (ii)  X is a continuous random variable.