代做MA3XJ/MA4XJ Integral Equations Problem Sheet 3: 2023-2024代写数据结构程序

MA3XJ/MA4XJ Integral Equations

Problem Sheet 3:  2023-2024

1.  Suppose that X is a Banach space, K is a bounded linear operator on X , g ∈ X, and that yN  ∈ X is defined, for each N ∈ N, by

yN  = g + Kg + ... + KNg.

Show that

g + KyN  = yN+1 ,    for N ∈ N.

Hence show that if the sequence yN  is convergent to some limit z, in symbols yN  → z, then

z = g + Kz.

(This is the last step of the proof on page 147 of the notes.  Hint:  use the fact that every bounded operator is continuous – see page 141 of the notes.)

2.  If A and B are two bounded linear operators on a Banach space X, the product op- erator AB is defined by (AB)ϕ := A(Bϕ), for ϕ ∈ X, i.e. AB is the composition of the mappings A and B .

(a) Show that AB is linear.

(b) Show that AB is bounded with

||AB|| ≤  ||A||  ||B||.

(The definition of a linear operator/mapping is on p. 69 of the slides, the definition of a bounded linear operator and its norm on p. 83.)

(c) Suppose that A, B, and C are bounded linear operators on X . Show that (AB)C = A(BC),

i.e. that operator products obey the associative law.  (Hint:  use that if A  : X  → X  and B : X → X then saying that A = B means that Aϕ = Bϕ for all ϕ ∈ X.)

(d) Where the bounded linear operator An  is defined for n ∈ N as in the lectures (or see PS2 Q4), show that, for m,n ∈ N, it holds that

AnAm  = An+m ,

i.e. that the product of the operators An  and Am  is An+m.  (Hint: fix m ∈ N and then prove that the above formula holds for all n ∈ N by induction (on n), using the result from (c).)

3. Define K : C[−1, 1] → C[−1, 1] by

where k > 0 is some positive constant, so that K is the integral operator on C[−1, 1] with kernel k(x,t) = eikxt.

(a) Show that (hint:  reverse the order of integration at an appropriate point, which is justified as the integrand is continuous)

 

where sinc is a standard notation for the function sincx := x-1 sin x.  Thus K2   is also an integral operator, with kernel 2sinc(k(x + t)).

(b) Show that ∥K∥ = 2.  (Hint: just use our standard formula on p. 89.)

(c) Deduce from applying the result in question 2(b) that ∥K2 ∥ ≤ 4.

(d) Show, using the formula from (a) which makes clear that K2  is an integral operator with a continuous kernel, that

 

and deduce that ∥K2 ∥ < 1 if k > 0 is large enough.

4.   Suppose  K is a bounded linear operator on a Banach space X  and that y  ∈  X  sat- isfies the equation

y = Ky.

(a) Show, by induction, that

y = Kny

for n = 2, 3, . . ..

(b) Hence show that y = 0 if ∥Kn ∥ < 1 for some n ∈ N.

(c) Deduce that, if ∥Kn ∥ < 1 for some n ∈ N, then, for every g ∈ X, the equation y = g + Ky. has at most one solution.

5.  Let BC(R) denote the set of functions ϕ : R → C that are continuous and bounded. This is a linear space (with addition of functions and multiplication of a function by a com- plex number defined in the usual obvious way).  Let  ∥ · ∥∞  be the norm on BC(R) defined by

Equipped with this norm,  BC(R)  is a normed space, in fact a Banach space.  Given  a constant λ > 0, define the integral operator K : BC(R) → BC(R) by

(a) Show from first principles (i.e.  starting from the definitions on p. 83 in the notes) that the linear operator K is bounded and that

 

(b) Suppose that g, y ∈ BC(R) and that

y = g + Ky.

Show that

y = yN  + KN+1y,    for N ∈ N,

where

yN  := g + Kg + ... + KNg,

and that

 

Deduce that, if λ > 2, then y is given by the convergent Neumann series y = g + Kg + K2g + ....

6.  Suppose that K  : C[a,b] → C[a,b] is an integral operator with a continuous or weakly singular kernel, and consider the integral equation

y = g + Ky                                                           (1)

where g ∈ C[a,b].

(a) By applying results from question 4 and the Fredholm Alternative, deduce that (1) has exactly one solution y ∈ C[a,b] for all g ∈ C[a,b] if ∥Kn ∥ < 1 for some n ∈ N.

(b) In the case that  ⅡKn Ⅱ < 1 for some n ∈ N, and by applying the results from question 2, show that  ⅡKN Ⅱ → 0 as N → ∞ .  (Hint:  write  N as N = mn + r  where m is a non- negative integer, and r is the remainder after dividing N by n.)

(c) Applying the results from (a) and (b), and arguing similarly to question 5, part (b), deduce that (1) has exactly one solution for every g ∈ C[a,b], and that this solution is given by the (convergent) Neumann series

y = g + Kg + K2g + ....

(Note that, once you have done (c), you have proved the theorem on page 160 in the special case that X  =  C[a,b] and K is an integral operator with continuous or weakly singular kernel.)