代做ME-GY 6703 Linear Control Theory and Design, Spring 2024 Homework Assignment 3代写C/C++语言

ME-GY 6703 Linear Control Theory and Design, Spring 2024

Homework Assignment 3

1.  Consider the following nonlinear system:

where ω is some constant and α(t) and β(t) are some nonnegative functions of time.  Linearize the equations about the nominal trajectory associated with initial conditions θ1 (0)  =  θ2 (0)  =  θ3 (0)  =  θ0 , where θ0   is a common initial condition for the three variables.

2.  Simulate the nonlinear system in (1) for ω = 1, α(t) = β(t) = 1, and θ1 (0) = 0.1, θ2 (0) = 0.3, θ3 (0) = 0.2 in the range [0, 1] and plot the solution.  Please plot each in the same graph using red, blue, and green for θ1 , θ2 , and θ3 , respectively.

3.  Consider again the case α(t) = β(t) = 1 and focus on the linear system derived in Question 1. Compute the transition matrix Φ(t) numerically (you do not need to provide the analytical solution) – note that we omit the dependence on the second argument because the system is time-invariant.  Plot all the nine entries in the interval [0, 1]. Please group them into three separate graphs, where each of them contains a row of the matrix and use the same color convention as in Question 2, such that red, blue, and green pertain to the first, second, and third column, respectively.

4.  Consider  again the transition  matrix  derived in  Question  3.   Is  the  system (uniformly) stable?

5.  Consider the case α(t) = 1 − cost and β(t) = 1 − sint and focus on the lin- ear system derived in Question 1.  Numerically compute the transition matrix Φ(t,0) in the interval [0, 2π] and plot all the entries, following the notation of Question 2.

6.  Consider  again  the  setup  in  Question  5.    Numerically  compute  the  matrix Φ(2π,0) and R =  log Φ(2π,0) (where log( ·) here is the logarithm of a matrix, not the logarithm of each element of the matrix).

7.  (15 points) Consider again the transition matrix derived in Question 5.  Is the system uniformly stable?  Show that you obtain the same stability results when considering a linear time-invariant system with A = R, which you computed in Question 6.

8.  Consider the case α(t) =  1 − exp( −t) and β(t) = exp( −t) and focus on the linear system derived in Question 1.  Numerically compute the transition matrix Φ(t,0) in the interval [0, 4] and plot all the entries, following the notation of Question 3.