代做29650 Engineering Mathematics 2 - Tutorial sheet 1代写Processing

29650 Engineering Mathematics 2 - Tutorial sheet 1

Question 1

Let P be the probability density function over the set {1, 2, 3, 4, 5, 6} defined by:

P (1) = P (6) = 0.3                                                                  (1)

P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = 0.1                                                                  (2)

Let r be a discrete random variable governed by P.  Calculate the expected value E(r) and variance V (r) of r.

Question 2

Let r be a continuous random variable governed by a uniform probability density function over the interval [2, 10].  Calculate the expected value and variance of r.

Question 3

Let r be a continuous or discrete random variable.  Show that

V (r) = E(r2 ) - [E(r)]2                                                                                                    (3)

Question 4

Let r1  and r2  be uncorrelated random variables.  Show that

V(r1 + r2 ) = V (r1 ) + V (r2 )                                                                        (4)

Question 5

Let x be a continuous random variable.  Let a, b ∈ R, a > 0.  Define a new random variable q by

q = (x × a) + b                                                                         (5)

Show that E(q) = E(x) × a + b and V (q) = a2 V (x)

Question 6

Let p be the continuous PDF defined by

p(x)    =    0, x < 0                                                                        (6)

p(x)    = 0 ≤ x ≤ π                                                                        (7)

p(x)    =    0, x > π                                                                             (8)

Let r be a continuous random variable governed by p.

1.  Verify that p is a PDF

2.  Calculate E(r) and V (r).