代做MAT 237: Multivariable Calculus with Proofs Assignment #10代写留学生数据结构程序

MAT 237:  Multivariable Calculus with Proofs

Assignment #10

Due August 5, 11:59 PM EST

1.  Prove the Integral Mean Value Theorem:  If S is a Jordan measurable set in Rn ,  f  :  S  →  R  is continuous, and further if S is compact and path-connected, then there exists a point c→ ∈ S such f(c)→ is equal to the average value of f on S.

2.  a) The parametric curve C  ⊂ R2  defined by γ(t) =  (t3 , t2 ) on [−1, 1] is not  a manifold at the point 0 ∈ (−1, 1). However, γ is a C1  function on (−1, 1) and you will recall that our definition of manifold only asked for the function involved to be C1 . Explain why this is not a contradiction.

b) Let U be an open set in Rn , f : U → R a continuous function, and C a curve in U. Prove that the line integral of f  on C  does not depend on parametrization.

c) Let C be an oriented curve in Rn  and F  : Rn  → Rn  a continuous vector field with the property that F(⃗x) = 0 for all ⃗x ∈ C. Prove that ,C F · ds = 0.

3. Let f : Rn → R and F, G : Rn  → Rn  all be C1 .

a) Show that div(fG) = fdivG + (∇f) · G.

b) Let n = 3.  Show that div(F × G) = G · curl(F) − F · curlG.

4.  Calculate the area of the region in R2  bounded by the ”hypocycloid” γ(t)  =  (cos3 (t), sin3 (t))  for t ∈ [0, 2π].