代写Lineare Algebra II 2024代做留学生SQL语言程序

Lineare Algebra II

Aufgabe 1. Beschreiben Sie alle abelschen Gruppen der Ordnung 1176 bis auf Isomorphie.

Aufgabe 2. Seien G und H abelsche Gruppen und φ :  G → H ein Homomorphismus. F¨ur m ∈ Z bezeichne µm(G) :  G → G, g }→ mg und µm(H) :  H → H , h }→ mh die Homomorphismen gegeben durch Multiplikation mit m.

a)  Zeigen Sie, dass das Diagramm

kommutiert, d.h., zeigen Sie φ ◦ µm(G) = µm(H) ◦ φ .

b)  Zeigen Sie, dass sich φ zu einem Homomorphismus

φ| ker(µm(G)):  ker(µm(G)) → ker(µm(H))

einschr¨anken l¨asst.

c)  Zeigen Sie: Falls φ ein Isomorphismus ist, dann ist auch φ| ker(µm(G))  ein Isomorphismus.

Aufgabe 3. Sei n ∈ N>0 . Wir fassen die Elementeder zyklischen Gruppe (Z/n, +) als Restklassen modulo n auf, und schreiben [m] f¨ur die Restklasse von m ∈ Z.  Zeigen Sie:  Ein Element [m] ∈ Z/n ist ein Erzeuger von (Z/n, +) genau dann, wenn m und n teilerfremd sind.

Aufgabe 4. Sei n ∈ N>0  und A ∈ Cn×n.

a)  Zeigen Sie, dass es Matrizen Anil  ∈ Cn×n  und Adiag  ∈ Cn×n  gibt, sodass

(i)  A = Anil+ Adiag

(ii)  Anil  ist nilpotent, d.h., es gibt ein N ∈ N sodass Ani(N)l  = 0.

(iii)  Adiag  ist diagonalisierbar

(iv)  AnilAdiag = AdiagAnil.

[Hinweis: Betrachten Sie die Jordan-Normalform von A.]

b)  F¨ur B ∈ Cn×n  und λ ∈ C definieren wir

Vλ(B) = {v ∈ Cn  | ∃k ∈ N : (B − λEn)k (v) = 0} .

Dann  ist  Vλ(B)  ⊂ Cn   genau  jener  Untervektorraum,  auf  welchen  eingeschr¨ankt  B  eine Jordan-Normalform mit auschließlich Jordan-K¨astchen zum Eigenwert λ hat.  Insbesondere ist Vλ(B) = {0} f¨ur alle bis auf endlich viele λ ∈ C, und außerdem

Falls B diagonalisierbar ist, dann ist Vλ(B) = Eig(B,λ).

Sei  A  =  Anil  + Adiag   eine  Zerlegung,  welche  die  vier  Eigenschaften  aus  a)  erf¨ullt  (nicht notwendigerweise jene  Zerlegung,  die  Sie  konstruiert  haben).   Sei  v  ∈ Vλ(Adiag).    Zeigen Sie:

(i) F¨ur alle k ∈ N gilt (A − λEn)k (v) = An(k)il (v).

(ii) Es gilt v ∈ Vλ(A), und folglich Vλ(Adiag) ⊂ Vλ(A).

[Hinweis zu (i):  Schreiben  Sie A = Anil  + Adiag   und verwenden Sie die binomische Formel (x + y) k = P ki =0xi y k−i. Was m¨(u)ssen Sie beachten, wenn Sie diese Formel benutzen?]

c)  Zeigen Sie, dass Vλ(Adiag) = Vλ(A) f¨uralle λ ∈ C.  [Hinweis: In b) wurde bereits die Inklusion

Vλ(Adiag) ⊂ Vλ(A) gezeigt. F¨ur Gleichheit benutzen Sie (1)].

d)  Sei A = Anil(′) + A′diag  eineweitere Zerlegung, welche (i)-(iv) aus Teilaufgabe a) erf¨ullt.  Zeigen

Sie, dass

Adiag = A′diag .

Folgern Sie, dass die Zerlegung von A in eine nilpotente und eine diagonalisierbare Matrix eindeutigist,d.h., es gilt auch Anil  = Anil(′) .  Diese Zerlegung heißt Jordan-Chevalley-Zerlegung.

[Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass Vλ(Adiag) = Vλ(A′diag) f¨ur alle λ ∈ C.]