代写Lineare Algebra II Ubungsblatt 3代写留学生Matlab语言

Lineare Algebra II

Ubungsblatt 3

SS 2024

Aufgabe 1. Zeige, dass ein Polynom der Form.

p = xn + cn−1xn−1 + · · · + c1x + c0 ∈ K[x]

aufgefasst werden kann als charakteristisches Polynom der Matrix

Aufgabe 2. Sei R ein Integrit¨atsring und a, b, c ∈ R. Seien ggT(a, b) und ggT(ggT(a, b), c) entsprechend gr¨oßte gemeinsame Teiler. Zeige, dass

ggT(ggT(a, b), c) = ggT(a, b, c).

Aufgabe 3. Zeige, dass die gemeinsamen Nullstellen zweier Polynome f, g ∈ K[x] genau die Nullstellen ihres gr¨oßten gemeinsamen Teilers ggT(f, g) ∈ K[x] sind. Verwende das Resultat, um die gemeinsamen Nullstellen folgender reeller Polynome zu berechnen:

f = x4 + 2x3 − x2 − 2x + 1,

g = x4 + x3 + x − 1.

Aufgabe 4. Betrachte den Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z} ⊆ C. Zeige, dass

| · |2 : Z[i]\{0} → N0,   a + ib 7→ a 2 + b2

eine Bewertungsfunktion und folglich Z[i] Euklidisch ist. [Hinweis: F¨ur z, w ∈ Z[i], w ≠ 0 approx-imiere w/z ∈ C durch ein q ∈ Z[i] mit |w/z − q| 2 ≤ 2/1.]