代写Digital Signal Processing and Digital Filters Practice Sheet 2帮做R程序

Digital Signal Processing and Digital Filters

Practice Sheet 2

1)  Evaluating DTFT.

(a)  Consider a sequence h[n] such that h[n] = 0, n > 0 and h[n] = αn , n ≤ 0.

•  What is the DTFT of h[n]?

•  Explain what happens when |α| ≤ 1.

• Given that |H (eȷω )|ω=0 = 4, what is α?

(b)  A system is described by the difference equation,

Find y[n] when x[n] = δ[n].

(c)  In the classes to come, we learn about the “moving average filter” defined by,

Identify its frequency response or the DTFT.

2)  Recursive Convolutions.

Let us define a set S = [0, 1] and the sequence,

Furthermore, let us define,

•  Show that,

•  Find the expressions for the magnitude spectrum |SN (eȷω )|?

3)  Using tools from Fourier Analysis, show that,

4)  Deriving Shannon’s Sampling Formula.

When the basis functions {Bk}k, k = 0, ±1, ±2, · · ·  are orthogonal, that is,

then the function in the span of the basis functions, can be represented by the expansion,

•  What is the Fourier Transform of,

•  Show that the basis functions are orthogonal.

•  Show that when f is a bandlimted function, the coefficients ⟨f, Bk⟩ are equivalent to the samples of f(t).

5)  Fourier Uncertainty.

Let We are given that

•  Verify that,

•  Verify that,